Is Littlewoods real?

Is Littlewoods real?

Littlewood’s first principle proof

I am having trouble with the following exercise:Let \( K: \mathbb{R^n} \longrightarrow{}mathbb{R} \) be bounded, measurable and compactly supported. Show that There exists a constant \( C \) such that for all locally integrable \( f \) and for all \( x \), it holds that:\( \( \displaystyle \sup_{\epsilon > 0} \left |f*K_{\epsilon} (x)\right |<C Mf(x) \)where \( K_{\epsilon}(x) = K(x/\epsilon)/\epsilon^n \).Any ideas on how to approach this?

I was able to make some progress:let’s call \( E \) the support of \( K \).Let’s consider \( M = ||K||_{\infty} \) (which is finite by hypothesis) and \( g(x) = M \chi _E (x) \). Clearly, \( K_\epsilon(x) \leq g_\epsilon (x) \). Let \( \epsilon > 0 \) we have that \( |f * K_\epsilon (x)| |f(x-y)K_\epsilon(y)|f(x-y)K_\epsilon(y)|dy \f {\epsilon E} |f(x- y)| g_epsilon (y) dy \leq M \int _ {\epsilon E} |f(x-y)|/\epsilon^n (I)Let us call \( D = diam (x-E) \). Observe that \( diam(x-E) = D \epsilon E) if \( x \in x – \epsilon E), we have that the cube centered there, of side \( D \epsilon E) (which we will call \( Q_\epsilon (x) \), contains the set \( x – \epsilon E). Moreover, \( | Q_\epsilon(x)| =D^n \epsilon ^n \). Then,(I)\( MD^n \Q_displaystyle{|f(y)}{D^n \epsilon^n}and MD^n Mf(x) \)

Littlewood principles

He studied at Trinity College, Cambridge, where W. W. Rouse Ball was his tutor and spent most of his career. In 1908 he was elected Fellow of Trinity College and in 1928 was appointed Rouse Ball Professor of Mathematics, retiring in 1950. He was elected Fellow of the Royal Society in 1916, awarded the Royal Medal in 1929, the De Morgan Medal in 1938, the Sylvester Medal in 1943, the Copley Medal in 1958 and the Senior Berwick Prize in 1960. He was also president of the London Mathematical Society from 1941 to 1943.

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Teorema de convergencia dominante

Este programa es uno a uno solo (o una pareja casada) y se basará en la investigación de vanguardia 2020 de Harvard Genetics y Stanford Neuroscience. El precio de este programa depende de la duración del compromiso con el proceso.

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